「かけさせます」という言葉自体は存在していますが、これを「お手数」と同時に使うことはありません。
丁寧語としても敬語としても間違った、おかしな言い方ですので、誤って用いないようにしましょう。
失礼な印象を与える
「かけさせる」や「～させる」といった言い方は、相手に対して強制するイメージがあります。
そのため、「お手数かけさせます」と聞くと、「これから迷惑をかける」といったように上から目線の偉そうな物言いに思えてしまうこともあり、相手に対しては失礼な印象を与えてしまいます。
そのため、「かけさせる」という言葉は敬語では用いることはありませんので使い方に注意しましょう。